2012 Bilangan Prima... Proses Sederhana Menemukan Kebenaran Secara Matematik

Saat menyambut tahun 2011 dari tahun 2010 y.l., di web Dep. Matematika FMIPA IPB atas nama Departemen saya membuat ucapan tahun baru yang diawali dengan perintah Mathematica dan Matlab, sbb.

"PrimeQ[2011] == True, isprime(2011) == 1.  Artinya, 2011 adalah tahun PRIMA.

Segenap staff dan karyawan Dep. Matematika IPB mengucapkan Selamat Tahun Baru 2011.

Semoga langkah dan karya kita pun makin PRIMA di tahun ini"

Sekarang saya ingin mencari cara agar tahun 2012 juga bilangan "prima", untuk memotivasi agar prestasi kita pun tetap prima.  Muncullah gagasan, nyatakan saja 2012 dengan basis selain 10, konversi hasilnya ke dalam basis 10, lalu lihat apakah hasil akhir itu prima atau tidak.

Syukur, dalam sekali langkah sudah ketemu hasil yang diinginkan.

$$ 2012_3 = 2\cdot 3^3 + 1 \cdot 3^1 + 2 = 59_{10} $$

Kita tahu bahwa 59 adalah bilangan prima, sehingga kita bisa mengatakan 2012 adalah bilangan prima dalam basis 3.

Setiap tahun "prima"?
Dari konjektur ke analisis

Awalnya saya berharap semua tahun yang bukan prima pada basis 10, bisa dibuat prima melalui perubahan basis seperti pada kasus 2012.  Saya coba buat program kecil di Mathematica untuk tahun 2013 (= 3 * 11 * 61, bukan prima).

Position[PrimeQ@
  Table[FromDigits[{2, 0, 1, 3}, n], {n, 4, 10000}], True]

{} 

Artinya eksplorasi 2013 dalam basis 4 hingga basis 10 000 ternyata tidak menghasilkan bilangan prima.  Dari situ muncul konjektur (dugaan sementara), "2013 tidak dapat dibuat prima melalui perubahan basis".  Inilah kelemahan eksplorasi komputasi.  Kalaupun kita telah mencoba hingga 1 triliun kasus serta tidak ada hasil, tetap saja belum bisa menyimpulkan bahwa 2013 tidak dapat dibuat prima melalui perubahan basis.  Tetapi, bukankah ekplorasi secara komputasi juga bermanfaat dalam memberikan dugaan awal suatu masalah yang kita hadapi?

Oo..., harus dicari cara lain.  Masuk ke tahap analisis sederhana.  Konversi bilangan 2013 dalam basis bilangan bulat $n \geq 4 $ ke basis 10,

FromDigits[{2, 0, 1, 3}, n]
% // Factor

3 + n + 2 n^3
(1 + n) (3 - 2 n + 2 n^2)

Yes!, berarti

$$ 2013_n = 2n^3 + n + 3 $$

dan $ 2n^3 + n + 3$ dapat difaktorkan menjadi $ (2n^2-2n+3)(n+1)$

Jadi jelas, 2013 dinyatakan dengan basis berapapun, tidak akan menghasilkan bilangan prima karena hasilnya dapat dinyatakan sebagai perkalian dua bilangan bulat selain dirinya sendiri dan satu.  Pupuslah harapan bahwa semua tahun dapat dinyatakan sebagai tahun prima dengan aturan perubahan basis.

Eksplorasi komputasi, contoh sanggahan, bukti

Keseluruhan proses di atas bisa dijadikan contoh sederhana bagaimana proses mencari suatu kebenaran secara matematik.  Di dalam matematika, untuk membuktikan suatu proposisi (pernyataan) salah, kita bisa menggunakan contoh sanggahan (counter examples).  Cukup anda berikan satu contoh yang menyangkal pernyataan tersebut, maka anda sudah membuktikan bahwa pernyataan tersebut salah.  Seandainya saya tidak terpaku dengan "2013", tetapi sedikit lebih "cerdas" mengambil kasus tahun 2000, maka mudah terlihat bahwa $2000_n=2n^3$ yang berarti selalu berupa bilangan genap, dan tidak akan pernah berupa bilangan prima.  Tidak perlu bikin program komputasi karena kasusnya sangat sederhana.

Akan tetapi untuk membuktikan  suatu pernyataan benar untuk suatu bilangan n yang takhingga banyaknya, kita tidak boleh memberikan contoh, berapa pun banyaknya.  Mengapa demikian?  Karena dengan bantuan komputer tercanggih pun, tetap tidak akan mampu mencakup takhingga banyaknya n yang mesti dipenuhi.  Namun demikian, hasil eksplorasi secara komputasi akan membantu anda misalnya dalam menemukan konjektur, menemukan adanya pola-pola keteraturan.  Jadi eksplorasi komputasi dapat memberikan arah atau fokus dalam pembuktian formal matematik.  Makna lain, anda yang membidangi matematika murni juga akan sangat terbantu memanfaatkan perkembangan teknologi komputasi, khususnya kemudahan-kemudahan yang diberikan oleh suatu sistem aljabar komputer seperti Mathematica.

Anda masih menginginkan tahun 2013 atau bahkan setiap tahun agar prima?  Barangkali untuk memotivasi agar setiap saat capaian anda tetap prima.  Kita pikirkan aturan main yang lain.  Atau mungkin ada yang sudah punya gagasan itu, atau masukan tentang topik ringan ini  Silakan tuliskan di bagian comment di bawah, berbagi sesama penggemar matematika.  Semoga kita tetap prima dalam mencari ide-ide segar...