Matematika Bendera

Di hari Proklamasi, 17 Agustus 2015, Sang Saka Merah Putih berukuran 3 x 2 m² berkibar gagah di Istana Merdeka.   Inilah ukuran resmi terbesar Sang Saka Merah Putih yang diatur dalam PP No. 40 tahun 1958.  Intinya, nisbah (rasio) panjang : lebar bendera kita adalah 3 : 2.  Adakah suatu konsep matematika yang terkait dengan nisbah semacam ini?

Ada, namanya Golden Ratio.  Golden Ratio, phi (φ) bernilai positif dan memenuhi persamaan φ² - φ - 1 = 0 atau φ = 1.61803...  Ia merupakan konstanta matematik yang sering dikaitkan dengan perancangan karya seni dan estetika.  Golden Ratio muncul pada beberapa fenomena alam, rancangan barang-barang industri (wide-screen tv, kartu kredit, buku, dsb), arsitektur bangunan, musik, studi persepsi, metode pengoptimuman, algoritma perdagangan, dsb. (lihat http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio).  Karenanya golden ratio juga sering disebut devine proportion, nisbah ilahi.

Pada tahun 1753, matematikawan Skotlandia, Robert Simpson berhasil membuktikan bahwa φ sama dengan F_n/F_n-1 untuk n yang besar, dengan F_n menyatakan suku ke-n barisan Fibonacci {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …}.  Artinya nisbah {1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, …} akan konvergen menuju φ.  Perhatikan nilai sepuluh nisbah pertama F_n/F_n-1. beserta nilai numeriknya yang makin mendekati φ, sbb.

{1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55}

{1., 2., 1.5, 1.66667, 1.6, 1.625, 1.61538, 1.61905, 1.61765, 1.61818}

Mari kita kaitkan dengan ukuran bendera beberapa negara.  UK, Australia, USA (dengan sedikit koreksi), dll. menggunakan suku ke-2 nisbah F_n/F_n-1, yakni 2 : 1.  Indonesia, Prancis, Italia, dll. menggunakan suku ke-3 dengan nisbah 3 : 2. Jerman lebih akurat dengan menggunakan suku ke-4, 5 : 3.  Finlandia benar-benar ingin tampil cantik dengan nisbah 18 : 11 = 1.6363.  Meski USA hanya menggunakan pendekatan suku ke-2, namun banyaknya bintang serta konfigurasinya pada bendera itu ternyata terkait dengan spiral golden ratio.

Kembaran bendera Indonesia, yakni Monako menggunakan nisbah 5 : 4 = 1.25, yang masih lebih jauh dari Golden Ratio jika dibandingkan dengan nisbah Sang Saka Merah Putih, 3 : 2 = 1.5.  Artinya, Sang Merah Putih masih lebih indah dipandang dari sisi estetika.

Berkibarlah Sang Saka Merah Putih yang gagah nan indah.  Dirgahayu Indonesiaku, HUT ke 17 + 8 + 45 = 70, 17 Agustus 2015.