Parkir Takhingga: Fun with Infinity - 1

Read in English

Anda yang bergelut atau menyenangi matematika atau fisika tentu sudah akrab dengan 'hewan' yang satu ini, takhingga (infinity, `oo`).  Lambang `oo` digunakan untuk mengacu pada suatu kuantitas yang besar tanpa batas atau tanpa akhir.  Tapi bagaimana kita bisa menjelaskan secara gamblang, misalnya apakah (i) `oo + 1 > oo`, (ii) `oo + oo > oo`, (iii) `oo xx oo > oo` ?

 Mari kita coba mengupasnya dengan berimajinasi menggunakan ilustrasi maya yang saya sebut Parkir Takhingga alias Parking Infinity. Parkir Takhingga adalah suatu sistem parkir super canggih, lebih canggih dibandingkan automatic parking system yang mulai marak saat ini.  Bila sebuah mobil akan parkir, petugas hanya perlu mengatur atau menentukan nomor posisi lot parkirnya dari komputer.  Selanjutnya mobil tersebut akan diparkir secara otomatis.  Itu saja belum cukup, fasilitas super canggih yang tidak dimiliki sistem lainnya di dunia nyata terpampang dalam spanduk raksasa berbunyi:

WELCOME TO PARKING INFINITY

We're full, but we always have parking lot for you!

Bagaimana mungkin, parkir sudah penuh tapi selalu masih tersedia lot parkir? Mungkin saja, namanya juga tempat parkir maya takhingga.  Nah, sekarang bayangkan andalah yang menjadi Direktur Program Kontrol Sistem Parkir Takhingga.  Apakah yang akan anda lakukan untuk menghadapi tiga kasus parkir berikut?  Kasus (i) memarkir sebuah atau sejumlah tertentu mobil, (ii) memarkir `oo` mobil, (iii) memarkir `oo` mobil yang diangkut dengan `oo` kontainer (ada `oo` kontainer yang masing-masing mengangkut `oo` mobil untuk diparkir).

A.  Memarkir sebuah atau sejumlah tertentu mobil

Bila datang sebuah mobil yang hendak parkir, tinggal membuat program yang dapat memindahkan mobil di lot parkir 1 ke lot 2, mobil di lot 2 ke lot 3, dst.... mobil lot n ke lot n + 1.  Lalu tempatkan mobil yang akan parkir di lot 1.  Mudah, bukan?  Bila datang 1000 mobil yang hendak parkir, kosongkan 1000 lot pertama dengan memindahkan mobil di lot n ke lot n + 1000, dan tempatkan mobil yang akan diparkir di tempat yang sudah dikosongkan.  Ini menjelaskan bahwa `oo` + 1 = `oo` + 1000 = `oo`.

B.  Memarkir `oo` mobil

Tenang saja, bila datang `oo` mobil yang hendak parkir, buatlah program yang dapat memindahkan mobil di lot parkir 1 ke lot 2, mobil di lot 2 ke lot 4, dst.... mobil lot n ke lot 2n.  Berarti semua mobil telah dipindahkan ke lot nomor genap yang banyaknya juga `oo`.  Jadi sekarang tinggal memarkir `oo` mobil di lot nomor ganjil dengan aturan mobil ke-k diparkir di lot 2k - 1, k = 1,2,...  Kita telah menunjukkan bahwa `oo` + `oo` = `oo`.

C.  Memarkir `oo xx oo` mobil
`oo xx oo` mobil berasal dari `oo` kontainer yang masing-masing membawa `oo` mobil.  Ada beberapa cara yang mungkin.  Cara termudah dengan langkah awal sama dengan kasus kedua; pindahkan semua mobil yang terparkir ke lot genap sehingga yang kosong lot ganjil.  Selanjutnya mobil ke-n dari kontainer ke-1 tempatkan di lot `3^n`, mobil ke-n dari kontainer ke-2 `->5^n`, dari kontainer ke-3 `->7^n`, dari kontainer ke-4 `->11^n`, dari kontainer ke-p `->text(bil prima ke-)(p+1)^n`.  Kode Mathematica berikut menampilkan nomor lot parkir mobil kolom-j dari kontainer baris-i.

TableForm[Table[Prime[i]^j, {i, 2, 5}, {j, 7}], 
 TableHeadings -> {Automatic, Range[6]}]

Karena yang dipangkatkan bilangan prima yang banyaknya juga takhingga, maka dijamin setiap mobil akan menempati lot ganjil yang unik.  Ternyata `oo` lot parkir yang telah penuh, masih mampu menampung `oo xx oo` mobil lain.  Artinya, `oo xx oo = oo`.  Bagaimana caranya agar `oo xx oo` mobil yang akan diparkir menempati semua lot parkir ganjil?  Hal ini akan dikupas pada topik yang terpisah.

Ilustrasi Parkir Takhingga di atas terilhami dari Hilbert's paradox of the Grand Hotel yang pertama kali disampaikan matematikawan Jerman, David Hilbert (1862 - 1943).  Kenapa dimodifikasi?  Karena dari pengalaman saya 'mendongeng' `oo` dengan ilustrasi Hotel Infinity, seringkali tanggapan yang muncul adalah: "Kasihan tamu hotelnya dipindah-pindah terus..."

English Version

Parking Infinity: Fun with Infinity - 1

For those who like math or physics must be familiar with the so-called infinity, `oo`. It is a concept which refers to a quantity without bound or end. To help understanding concept of infinity, I will use a virtual illustration called Parking Infinity – a super advanced parking system, much more sophisticated than any automatic parking system available today. When a car will be parked, the officer simply set the position number of the parking lot. Then the car will be parked automatically. Other super-advanced facilities are written in a giant banner:

WELCOME TO PARKING INFINITY
We're full, but we always have parking lot for you

How is it possible, the parking is already full but parking lots are always still available? Well, it is possible, because this ii a virtual infinity parking. Now, imagine that you are the Director of Control Program of the Parking Infinity system. What will you do to deal with the following three cases of parking? 

A. Parking a car or a certain number of cars

When a car comes to park, just make a program that can move the car in a parking lot 1 to lot 2, lot 2 to lot 3, and so on .... car in lot n to lot n + 1. Then place the incoming car in lot 1. It’s easy, isn’t it? Similarly, when 1,000 cars come to park, just empty the first 1000-th lots by moving the car in lot n to lot n + 1000, and place the incoming cars in the emptied lots. This explain that `oo + 1 = oo + 1000 = oo`. 

B. Parking `oo` cars

In case there are ∞ cars come to park, create a program that enable to move a car in lot 1 to lot 2, lot 2 to lot 4, and so on .... car lot n to lot 2n. This means that all parked cars have been moved to the even parking lot numbers, and there are `oo` even number. Then, place the `oo` incoming cars to the odd parking lot numbers, i.e. the k-th car is parked in 2k – 1 parking lot number, k = 1,2, ... We have shown that `oo + oo = oo`. 

C. Parking `oo xx oo` cars

`oo xx oo` cars come from e.g. `oo` containers, each of them carrying `oo` cars. There are several ways to handle this problem. The easiest way is to follow the second case as the first step; move all the parked cars into the even lot numbers, so that the odd lots are vacant. Next, park the n-th car of the 1st container into lot number `3^n`, the n-th car of the 2-nd container to `5^n`, from 3-rd container to `7^n`, from 4-th container to `11^n`, from p-th container → `(p +1)-text(th prime number)^n`. The following Mathematica code shows the parking lot number of the j-th column car carried by the i-th rows container.

TableForm[Table[Prime[i]^j, {i, 2, 5}, {j, 7}], 
 TableHeadings -> {Automatic, Range[6]}]

Since this power operation is related to the `oo` prime numbers, it is guaranteed that every car will occupy a unique odd parking lot numbers. It turns out that, though infinitely parking lot was full, but still able to accommodate another ∞ × ∞ cars. That is, the ∞ × ∞ = ∞. It is possible to park `oo xx oo` cars, so that occupy all odd parking lots. This will be discussed on different posting.

The above illustration of Parking Infinity was inspired by Hilbert's paradox of the Grand Hotel which was first proposed by German mathematician, David Hilbert (1862-1943). Why do I modify it? Because based on my experience tells infinity using the HIlbert’s Hotel Infinity illustration, response that often arises from the audience was: "Poor hotel guest, they are upset because they are too often moved from one room to another ..."